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Formulario de matemáticas:
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ejercicios de calculo:
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determinación de integrales:
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integración por partes:
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Área bajo la Curva.

Área bajo la Curva.  

ÁREAS BAJO CURVA 
Definición: Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales viene dada por:

ÁREA = ∫ f(x)dx

Observemos la siguiente FIG 1: 






En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior. 

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva y las rectas y f(x)=4
x =-3
x =2
SOLUCIÓN: 
TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida. 

FIG 2




2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por: 

A =∫_(-3)^2▒4dx 

3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral. 

A =∫_(-3)^2▒4dx = 4x EVALUADO 2 Y -3 

A= 4(2) – 4(-3) =20
Luego el área de la región es 20 u2. 

APLICACIONES A LA CARRERA 
INGENIERÍA AMBIENTAL
Te sirven por ejemplo si tienes el perfil de un terreno y quieres calcular volúmenes de excavación. Otro ejemplo si tienes una curva con valores de consumo de agua cada hora (que se obtienen mediante caudalímetro), integras la curva y te da el volumen diario consumido.Este también nos sirve para hallar el área bajo la curva de una Planta Perfil, las plantas perfiles es pasar las curvas de nivel de dicho mapa a papel milimetrado y asi observar la forma del terreno y hallarle el área tanto por debajo como por encima de la curva.Usar la integral definida para resolver problemas prácticos de la Ingeniería: Temas 
relacionados con áreas, volúmenes, longitud de curvas, trabajo mecánico y volúmenes 
por secciones planas conocidas.Estudiar las derivadas de funciones trascendentes y sus integrales relacionadas.Aprender los diferentes métodos de Integración para evaluar integrales.Estudiar la convergencia o divergencia de sucesiones y series.

EJERCICIOS.

Bibliografía.

https://www.matesfacil.com/ejercicios-resueltos-integracion-areas.html

http://calculo-central.blogspot.com/2010/05/calculo-integral-areas-bajo-la-curva.html 

Suma de Riemann

Suma de Riemann

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Las sumas de Riemann se utilizan para hacer una aproximación del área limitada por una curva y el eje de abscisas.

Si y=f(x)y=f(x) es una función continua en el intervalo [a,b][a,b], y definimos un conjunto finito de puntos a=x0<x1<…<xn=ba=x0<x1<…<xn=b, se define la suma inferior de Riemann como

sn=∑i=1nmi(xi−xi−1),sn=∑i=1nmi(xi−xi−1),

Donde mi es el valor más bajo que toma la función en el intervalo [xi,xi−1][xi,xi−1]. Se define también la suma superior de Riemann como

Sn=∑i=1nMi(xi−xi−1),Sn=∑i=1nMi(xi−xi−1),

Donde Mi es el valor más alto que toma la función en el intervalo [xi,xi−1][xi,xi−1].

Cuanto mayor sea el número de rectángulos, las dos sumas se van aproximando al área bajo la curva, de manera que en el límite tenemos.

EJEMPLOS. 

Integral Definida

INTEGRAL DEFINIDA.

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

 La integral definida se representa por :

• ∫ es el signo de integración.

• a límite inferior de la integración.

• b límite superior de la integración.

• f(x) es el integrando o función a integrar.

• dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

1. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
2. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
3. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Para estos ejercicios pondremos la calculadora en modo de radianes para resolverlos.

ponemos la calculadora en radianes apretando primero la tecla se "shift" luego la tecla de "DGR" o "Ans#. después nos mandara al menú que aparece en la pantalla de la calculadora de la imagen y apretaremos la tecla con el numero 2 donde dice "Rad". EJEMPLOS.

UNIDAD 3: Integración por Partes.

INTEGRACIÓN POR PARTES.

Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

 

Escoger adecuadamente u y dv:

Una mala elección puede complicar más el integrando.

Supongamos que tenemos un producto en el que uno de sus factores es un monomio (por ejemplo x³). Si consideramos dv = x³. Entonces, integrando tendremos que v = x⁴/4, con lo que hemos aumentado el grado del exponente y esto suele suponer un paso atrás.

Normalmente, se escogen los monomios como u para reducir su exponente al derivarlos. Cuando el exponente es 0, el monomio es igual a 1 y el integrando es más fácil.

Algo parecido ocurre con las fracciones (como 1/x). Si consideramos dv = 1/x, tendremos v = log|x| y, probablemente, obtendremos una integral más difícil.

Como norma general, llamaremos u a las potencias y logaritmos y dv a las exponenciales, fracciones y funciones trigonométricas.

Para resolver según el método también debe tomarse en cuenta:

1.  DX siempre debe ser parte de v
2. Debe ser posible integrar dv
3. cuando la expresión de la integral es el producto de dos funciones, lo mejor es seleccionar la de apariencia más compleja con tal de que pueda integrarse como parte de duv.

EJEMPLOS.

solución de integrales indefinidas por sustitución trigonométrica.

Sustitución trigonométrica. 

En ocasiones resulta útil hacer un cambio de variable para que el cálculo de algunas  primitivas resulte más sencillo, como es el caso del cálculo de  primitivas de funciones que tienen uno de los factores

donde "a" es una constante.
EJEMPLOS

Bibliografía. 

http://www.clasesrobertotorres.com/calculo_integral/cap_1_integral_indefinida/integracin_por_sustitucin_trigonometrica.html

Solución de integrales indefinidas reducibles a inmediatas por sustitución algebraica.

Sustitución algebraica.

Integral inmediata de la forma  

También se requiere de conocimientos previos  como el saber realizar una ecuación cuadrática y aplicar el trinomio cuadrado perfecto.

EJERCICIOS. 

UNIDAD II: Métodos de integración.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.

Todas las técnicas tienen como objetivo reducir la integral buscada a una integral ya conocida o inmediata, como por ejemplo una de las de la tabla ó bien reducirla a una integral más sencilla.

CONOCIMIENTOS PREVIOS. ECUACIONES CUADRÁTICAS. Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación  de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales y a  es un número diferente de cero. EJEMPLOS.  IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. Una identidad trigonométrica es una igualada entre expresiones  que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos  los valores del ángulo en los  que están definidas las funciones  (y las  operaciones aritméticas involucradas). EJEMPLOS.

Determinación de Integrales.

Determinación de Integrales Inmediatas.

Son integrales que se resuelven de una forma directa, aplicando su fórmula correspondiente. Para poder aplicar el método de integrales inmediatas, hay que transformar la función a integrar, mediante las propiedades de las integrales, para que quede de la misma forma que figura en cada una de las fórmulas.

Las funciones a integrar pueden ser de dos tipos:

Funciones simples: Donde sólo interviene una x

Funciones compuestas: Donde en lugar de la x de las funciones simples, aparece una función y  la multiplicación por su derivada.

¿Qué integrales se puede resolver con integrales inmediatas?

Pues todas aquellas que sea posible transformarlas mediante las propiedades de las integrales, para que queden igual que las fórmulas de las integrales inmediatas

La mejor forma de aprender a utilizar tanto las integrales inmediatas de funciones simples como las integrales inmediatas de funciones compuestas es practicando.

EJEMPLOS.

(puedes dar clic en la imagen para ver más grande)

Bibliografía.

https://ekuatio.com/integrales-inmediatas-ejercicios-resueltos/

Determinación de Integrales Exponenciales.

Las integrales exponenciales son aquellas integrales que se hacen en torno al número de euler (e). Este es uno de los números irracionales más importantes en las funciones matemáticas y en concreto para la resolución de problemas matemáticos.

EJEMPLOS.

archivo pdf con ejercicios(link de descarga).

https://drive.google.com/file/d/1m0R2WRi3EoX2nlZk1vUsqujspGopdwtS/view?usp=sharing

Bibliografía. 

https://derivadas.es/integrales-logaritmicas-exponenciales/