Suma de Riemann
En matemáticas,
la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve
para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una
curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema
Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard
Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de
rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los
rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es
que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
Las sumas de Riemann se utilizan para
hacer una aproximación del área limitada por una curva y el eje de abscisas.
Si y=f(x)y=f(x) es una
función continua en el intervalo [a,b][a,b], y definimos un
conjunto finito de puntos a=x0<x1<…<xn=ba=x0<x1<…<xn=b,
se define la suma inferior de Riemann como
sn=∑i=1nmi(xi−xi−1),sn=∑i=1nmi(xi−xi−1),
Donde mi es el valor más bajo que toma la función en el
intervalo [xi,xi−1][xi,xi−1]. Se define también la suma superior
de Riemann como
Sn=∑i=1nMi(xi−xi−1),Sn=∑i=1nMi(xi−xi−1),
Donde Mi es el valor más alto que toma la función en el
intervalo [xi,xi−1][xi,xi−1].
Cuanto mayor sea el número de
rectángulos, las dos sumas se van aproximando al área bajo la curva, de manera
que en el límite tenemos.
EJEMPLOS.
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